- Introducción

- ¿En qué consiste la prueba del 9

- Aplicaciones prácticas de la prueba

     - Multiplicación

     - Suma

     - División

- Orígenes de la prueba del 9

- Fundamentos matemáticos

     - Proposición 1

     - Proposición 2

     - Prueba del 9 para la multiplicación

     - Prueba del 9 para la suma

     - Prueba del 9 para la división

- Bibliografía utilizada

Acerca de la Prueba del Nueve

Una aproximación a los fundamentos matemáticos de la prueba del nueve.

            La demostración formal de la prueba del nueve entra dentro de la teoría de números, concretamente de la llamada aritmética modular, de los números congruentes. Fue establecida por Friedrich Gauss en su obra Disquisittiones artihmeticae de 1801. No obstante, las demostraciones que aparecen a continuación, aunque inspiradas en las propiedades de las congruencias y concretamente en la demostración de Rupin Gutiérrez (citado en la bibliografía), huyen del formalismo matemático utilizado en esa parte de las matemáticas que quedan muy lejos de las pretensiones de este artículo.

Proposición 1

            Cuando al dividir dos números cualesquiera, a y b, entre otro número cualquiera, n, obtenemos el mismo resto, entonces la diferencia entre esos números, a – b, es un múltiplo entero de n.

Es decir, si a/n y b/n tienen el mismo resto, entonces (a – b) = k·n, donde k es un número entero. Por ejemplo, probemos a dividir 2598 y 1935 entre 17:

Como vemos, el divisor y el resto son los mismos, luego los dividendos cumplen que

2598 – 1935 = k ·17

donde k es un número entero. Efectivamente,

2598 – 1935 = 663

663 : 17 = 39; 39 = k

Demostración 

Si c_a y r_a son, respectivamente, el cociente y el resto de dividir a por n, entonces

a = c_a · n + r_a

Si c_b y r_b son, respectivamente, el cociente y el resto de dividir b por n, entonces

b = c_b · n + r_b

Despejamos r_a y r_b

r_a = a – c_a n

r_b = b –  c_b n

Veamos la condición que se debe dar para que los dos restos sean iguales

r_a = r_b

a – c_a n = b – c_b n

a – b = c_a n – c_b n

a – b = n(c_a – c_b)

Como c_a y c_b son dos números enteros, entonces su diferencia es también un número entero, que podemos llamar k

(a – b) = k n

Proposición 2

            Al dividir por 9 un número natural, N, cualquiera, el resto obtenido es el mismo que el que se obtiene de dividir por 9 la suma de las cifras que componen dicho número[1].

Demostración

Sea N un número natural cualquiera de n+1 cifras. El sistema de numeración posicional y decimal nos permite escribir este número de la siguiente manera[2]

N = 10 ⁿ a_n + 10 ^n-1 a_n-1 + ………………+ 10¹ a₁ + 10⁰ a₀

N = 10 ⁿ a_n + 10 ^n-1 a_n-1 + ………………+ 10 a₁ + a₀

Por otra parte,  a_n , a_n-1 , ……, a₁  y a₀ , son las cifras de N, su suma, S_N , será

S_N = a_n + a_n-1 + …………+ a₁ + a₀

Si N y S_N tienen el mismo resto al dividir cada número por 9, según la proposición 1 la diferencia entre ambos números debe ser un múltiplo entero de 9. Veamos

N – S_N = (10 ⁿ a_n + 10 ^n-1 a_n-1 + ………………+ 10 a₁ + a₀) – (a_n + a_n-1 + …………+ a₁ + a₀) =

= 10 ⁿ a_n – a_n + 10 ^n-1 a_n-1 – a_n-1 + ………………+ 10 a₁ – a₁ + a₀ – a₀ =

= (10 ⁿ – 1)a_n + (10 ^n-1 – 1)a_n-1 + … … … … … + (10 – 1)a₁ =

= 9 · k

donde

es un número entero, que es lo que se quería demostrar.

Pero la prueba del nueve no se detiene en S_N, ya que luego suma las cifras que forman S_N para obtener otro número, pongamos S_2N. Sin embargo la demostración es trivial pues no hay más que iterar el proceso

S_N = 10 ^m a_m+ 10 ^m-1 a_m-1 + ………………+ 10¹ a₁ + a₀

S_2N = a_m + a_m-1 + …………+ a₁ + a₀

donde m es menor que n.

S_N – S_2N = 9 · k’

Y así sucesivamente hasta que la última suma sea menor de 9.

No me resisto a seguir los pasos de esta demostración con un número concreto elegido al azar. Además puede ayudar a quien se encuentre perdido en la demostración. Dadas las características del número pi (un número irracional transcendente) las seis primeras cifras decimales, por ejemplo, conforman un número elegido al azar, el 141592. Los pasos serán exactamente los mismos, sin simplificaciones:

N = 141592

N = 10⁵ · 1 + 10⁴ · 4 + 10³ · 1 + 10² · 5 + 10¹ · 9 + 10⁰ ·2

N = 10⁵ · 1 + 10⁴ · 4 + 10³ · 1 + 10² · 5 + 10 · 9 + 2

S_N = 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2

N – S_N = (10⁵ ·1 + 10⁴ ·4 + 10³ ·1 + 10² ·5 + 10 ·9 + 2) – (1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2) =

= 10⁵ · 1 – 1  + 10⁴ · 4 – 4  + 10³ · 1 – 1  + 10² · 5 – 5  + 10 · 9 – 9  + 2 – 2 =

= (10⁵ – 1)·1 + (10⁴ – 1)·4 + (10³ – 1)·1 + (10² – 1)·5 + (10 – 1)·9 =

= 99999 · 1 + 9999 · 4 + 999 ·1 + 99 · 5 + 9 · 9 =

= 9 · [11111 · 1 + 1111 · 4 + 111 · 1 + 11 · 5 + 1 · 9] =

9 · 15730

Prueba del nueve para el producto

            Como hemos visto, se pasa la prueba si el resto del producto es el mismo que el resultado de multiplicar el resto del multiplicando y el resto del multiplicador. Entendiéndose que el resto se refiere en todos los casos al obtenido cuando se divide por 9.

Demostración

Sean m y n dos números cuyo producto es p = m  ·n. Al dividir p, m y n por nueve se obtendrá

m = 9c_m + r_m , donde c_m es el cociente y r_m el resto

n = 9 c_n + r_n , donde c_n es el cociente y r_n el resto

p = 9 c_p + r_p , donde c_p es el cociente y r_p el resto   (1)

Por otra parte,

p = m · n = (9c_m + r_m) · (9c_n + r_n) = 9c_m 9c_n + 9 c_m r_n + 9c_nr_m + r_m r_n

p = 9 ·(9c_mc_n + c_mr_n + c_nr_m) + r_mr_n   (2)

Si comparamos (1) y (2) veremos que

c_p = 9c_mc_n + c_mr_n + c_nr_m

y, sobre todo

r_p = r_mr_n

el resto del producto es el producto de los restos de multiplicando y multiplicador, que es lo que se quería demostrar.

            El procedimiento en las demostraciones siempre será el mismo. En este caso hay que demostrar que el resto de dividir por nueve el resultado es igual a la suma de los restos de dividir por nueve cada sumando.

Demostración

Sean a, b y c los sumandos cuya suma es s = a + b + c. Al dividir a, b, c y s por nueve se obtendrá

a = 9c_a + r_a

b = 9c_b + r_b

c = 9c_c + r_c

s = 9c_s + r_s     (1)

Por otra parte,

s = a + b + c = 9c_a + r_a + 9c_b + r_b + 9c_c + r_c

s = 9 ·(c_a + c_b + c_c) + r_a + r_b + r_c     (2)

Comparamos (1) y (2), entonces

c_s = c_a + c_b + c_c

r_s = r_a + r_b + r_c

            Por último, hay que demostrar que el resto del dividendo es igual que el resto del divisor por el resto del cociente más el resto del resto de la división. Como siempre, se trata del resto de dividir por 9 cada miembro de la división.

Demostración

Sean D el dividendo, d el divisor, C el cociente y R el resto de una división cualquiera. Entonces D = d ·C + R. Al dividir por nueve D, d, C y R se obtendrá

D = 9c_D + r_D     (1)

d = 9c_d + r_d

C = 9c_C + r_C

R = 9c_R +  r_R

Por otra parte,

D = d ·C + R = (9c_d + r_d) · (9c_C + r_C) + 9c_R +  r_R

D = 9 · (9c_C c_d + c_C r_d + c_d r_C + c_R) + r_d r_C + r_R     (2)

Comparamos (1) y (2), entonces

c_D = 9c_C c_d + c_C r_d + c_d r_C + c_R

r_D = r_d r_C + r_R

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Es una pena que procedimientos como la prueba del nueve queden olvidados en textos antiguos de matemáticas, atropellados por la indolencia mental que permiten las nuevas tecnologías y por una evolución no siempre acertada de los planes de estudio en nuestros centros de educación.