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Otras formas de multiplicar

Acceso rápido a contenidos:

• Repaso al origen de los números

• Los números romanos

• Multiplicación con números romanos (el ábaco)

• Multiplicación por el método de la celosía

• Bibliografía

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No siempre los números se han anotado de la misma manera que hoy. Para que nos demos cuenta de este hecho basta recordar las cifras romanas que utilizamos todavía en algunas ocasiones para dar relevancia a algún número en particular (numeración de los siglos por ejemplo). Llama la atención la realización de cálculos con dichos números pues hoy día sólo se utilizan los números romanos para designar una determinada cifra, pero no se calcula con ellas. Por ejemplo, si nos encontramos con que tenemos que multiplicar dos números romanos como XXV y IV, mentalmente hacemos la multiplicación con los números por todos conocidos, es decir 25 x 4 = 100, y anotamos el resultado con la cifra romana correspondiente que hemos aprendido es una C.

¿Cómo calculaban los romanos? ¿Desde cuándo se utilizan las números actuales? ¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera con las cifras actuales? Estas cuestiones no se resuelven en los tratados de aritmética al uso ni en los manuales escolares. Por otra parte, no son asequibles textos que traten del tema si no se tiene un conocimiento amplio de las matemáticas y de su historia. Existe una obra enciclopédica: Historia Universal de las Cifras, de Georges Ifrah (Ed. Espasa, Madrid, 1997) que permite responder a las cuestiones anteriores y muchas otras ya que es una obra extensa (1996 páginas). Todo lo que se expone a continuación se basa en los contenidos de dicha obra. Las afirmaciones y conclusiones tomadas del texto se recogen entrecomilladas.

Los romanos no conocían nuestra numeración decimal de posición ni el cero matemático ni las bases del cálculo escrito tal como lo practicamos hoy día. Los números y la aritmética que utilizamos actualmente y que están extendidos a nivel mundial  se inventaron en la India: «la invención de este sistema se produjo a mediados del siglo V d. C. y se debe a la civilización india». Tuvieron que pasar otros ocho siglos para que dicho sistema se instaurara en Europa: «se necesitaron más de cinco siglos para que se transmitieran las nueve cifras significativas a la Europa cristiana. A continuación, hubo todavía que esperar dos o tres siglos para que hiciera su aparición el cero junto con los métodos de cálculo indios, y un lapso de tiempo aún más considerable para que se propagaran y fueran definitivamente aceptadas en el mundo occidental...». Actualmente llamamos a las cifras “números árabes” pues fueron los sabios arábigo-musulmanes los primeros en aceptar dicho sistema transmitiéndolo a las demás culturas.

Los números romanos, como los de otras civilizaciones antiguas, no se basan en el sistema decimal de posición sino que establecen símbolos para las cantidades. En realidad lo que hacen es contar. Ifrah utiliza un ejemplo clarificador para explicar el origen de los números romanos arcaicos y que me he permitido modificar para establecer ya los números romanos que todos conocemos: un pastor quiere contar sus ovejas utilizando un bastón de madera sobre el que hará tantas muescas como ovejas

I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  I  . . 19 ovejas

este proceder no es cómodo pues obliga a recontar las muescas cada vez que se quiera saber el número total de ovejas. El ojo humano puede distinguir fácilmente al primer golpe de vista (sin contar) uno, dos, tres o incluso cuatro trazos paralelos. Por tanto, para facilitar el proceso, el pastor cambia el tipo de trazo cada 5 marcas para que pueda ser reconocida al primer golpe de vista (también puede ser una coincidencia con el número de dedos de las manos)

I  I  I  I V I  I  I  I X I  I  I  I  V I  I  I  I  . . .19 ovejas

contar en este segundo caso es más sencillo que en el primero.

Con el tiempo el trazo utilizado para el número 5 y para el número 10 se bastan a sí mismos, sin necesidad de transcribir los trazos que les preceden

X V I  I  I  I . . . . . . . . 19 ovejas

     La evolución posterior de este sistema de numeración pasa por abreviar. En lugar de escribir el número 4 con cuatro trazos, se anota con la forma IV, expresando así que el cuarto trazo de la serie se encuentra justo antes del “V”. Del mismo modo, en lugar de escribir el número nueve con la forma VIIII, se escribe IX. El pastor escribirá finalmente

XIX . . . . . . . . 19 ovejas

Como sabemos, la numeración romana también establece símbolos especiales para el número 50 (L), 100 (C), 500 (D) y 1000 (M).

Podemos pasar ya a las operaciones aritméticas con estos números romanos. «Para efectuar las operaciones aritméticas, los griegos, los etruscos y los romanos no utilizaron sus cifras, sino ábacos.... La palabra latina abacus deriva del griego abax o abakion, que significa “bandeja, mesa o tablilla”.... Un instrumento empleado en Roma fue el ábaco de cera, una auténtica “calculadora” portátil que se colgaba al hombro. Este ábaco consistía en una pequeña plancha de hueso o madera bañada en una fina capa de cera negra, donde se delimitaban las columnas sucesivas y se trazaban las cifras por medio de un estilete de hierro». La estructura del ábaco, una serie de columnas sucesivas que marcan de izquierda a derecha las unidades, decenas, centenas, millares, etc., permite que se pueda utilizar para realizar operaciones aritméticas con cualquier tipo de numeración. A modo de ejemplo voy a multiplicar 310 y 25 en el ábaco de cifras romanas. Se empieza por escribir el multiplicando (310) y el multiplicador (25) en la parte inferior de las columnas del ábaco (figura 1).

Después, se multiplica el 2 del multiplicador (que equivale a 20) por el 3 del multiplicando (que vale 300); se obtiene 6 (o mejor 6000). Se escribe entonces, en la parte superior, la cifra 6 en la cuarta columna (la de los millares). El proceso es el mismo en los demás pasos (figura 2).

Finalmente, se borran el multiplicando y el multiplicador y se procede a realizar las reducciones correspondientes en cada columna, comenzando por la que se ha asignado al orden de las unidades más bajas. No queda más que leer el resultado sobre las columnas (figura 3).

En cuanto a la última cuestión planteada:  ¿siempre se ha multiplicado de la misma manera con las cifras actuales?, creo que resulta evidente responder que no siempre se ha multiplicado de la manera que lo hacemos hoy con los números actuales. En la obra de Ifrah se pueden encontrar varias formas de multiplicar que han precedido a la actual (al menos siete procedimientos con sus respectivas variantes). En realidad la cuestión no es más que un pretexto para exponer una de esas formas que más me llamó la atención, se trata de la multiplicación llamada “de la celosía”.

El nombre de multiplicación de la celosía alude a la disposición de las cifras cuando se ha terminado la multiplicación que recuerda «a las mallas de madera o metal tras las que las mujeres, y sobre todo los maridos celosos, podrían observar sin ser vistos». El procedimiento (un algoritmo, es decir, un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema) fue inventado por «los árabes alrededor del siglo XIII, transmitiéndolo posteriormente a Europa occidental.... Hay una descripción del método en una obra anónima de aritmética publicada en Treviso en 1478), así como en la Summa de arithmética, geometría, proporzioni di proporcionalita del matemático italiano Luca Pacioli (Venecia, 1494)».

El mismo Ifrah reconoce que la disposición de los números es bastante peculiar, sin embargo el resultado final «se obtiene poco más o menos como en nuestra técnica actual, sumando los productos de las diversas cifras del multiplicando y el multiplicador».  Supongamos que hay que multiplicar 325 y 243. Se empieza por dibujar una tabla de tres filas y tres columnas pues los dos números a multiplicar tienen tres cifras cada uno. A continuación se trazan las diagonales de cada celda de la tabla y se colocan los números a multiplicar empezando por el multiplicando (325) cuyas tres cifras encabezarán cada una de las columnas de izquierda a derecha. El multiplicador (243) se coloca al final de cada fila de abajo a arriba, es decir, el 2 al final de la última fila, el 4 al final de la fila central y el 3 al final de la primera fila. El resultado se puede ver en la figura 4.

A continuación «se efectúa el producto de cada una de las cifras del multiplicando por cada una de las cifras del multiplicador, inscribiendo el resultado en la casilla correspondiente, solo que la cifra de las unidades de cada producto parcial se escribe en el espacio superior derecho de la casilla, y la de las decenas, si la hay, en el inferior izquierdo; si no lo hay, puede dejarse el espacio vacío o escribir en él un cero». El resultado se muestra en la figura 5.

Finalmente se suman las cifras de cada banda oblicua comenzando por la que se encuentra en el extremo superior derecho. Así, en nuestro caso:

Primera banda:  tiene un 5

Segunda banda: 6 + 1 + 0 = 7

Tercera banda: 9 + 0 + 8 + 2 + 0 = 19 (anoto 9 y me llevo 1 a la banda siguiente).

Cuarta banda: 0 + 2 + 0 + 4 + 1 + 1 = 8 (el último 1 procede de la banda anterior).

Quinta banda: 1 + 6 + 0 = 7

El resultado final se lee al revés que se ha sumado, es decir 325 x 243 = 78.975 (figura 6).

Respecto al procedimiento que utilizamos hoy, el método del algoritmo de la celosía parece más largo, sin embargo ofrece la ventaja de no tener que memorizar la cifra que nos llevamos en cada multiplicación parcial. Por ejemplo, al multiplicar 325 x 243 empezamos multiplicando 3 x 5 = 15, anotamos un 5 y nos llevamos 1 a la siguiente multiplicación. Ifrah no repara en otra ventaja de este método: no importa el orden en que se multiplican las cifras parciales ya que el resultado de cada una de dichas multiplicaciones tiene asignada una celda concreta en la tabla (o celosía).

Felipe Moreno Romero

Bibliografía:

Enviado a “La Moraleja” (revista trimestral informativo-cultural editada por el colectivo “La Moraleja” de Villanueva del Arzobispo, Jaén) el 1 de noviembre de 2002. Publicada  en los nº 38 y 39 de dicha revista, correspondiente a los meses de diciembre de 2002 (pp. 44-45) y marzo de 2003 (p. 45).