Magnetismo

[Magnetostática] [Inducción electromagnética] [Medios magnéticos] [Ecuaciones de Maxwell] [Ondas electromagnéticas]

Magnetostática
Campo magnético creado por una carga en movimiento B = [mo / 4p]  [ q v x r ] / r3
Ley de Biot y Savart d B = [mo / 4p]  [ I d l x r ] / r3
donde mo = 4 p10-7(mo: permeabilidad magnética),
r es el vector que va del elemento d l al punto en el que queremos calcular el campo magnético
- Campo magnético creado por una corriente rectilínea infinita de intensidad I en un punto situado a una distancia r B = mo I / [ 2 p r]
- Campo magnético creado por una espira circular de radio R por la que circula una intensidad I en el centro de la misma B = mo I / [ 2 R]
- Una bobina plana circular que comprende N espiras paralelas muy próximas, de radio medio R en el centro
 B = mo N I / [ 2 R]
- Campo magnético en el eje de una espira de radio r a una distancia x B = mo R2 I / [ 2 (x2 + r2)3/2 ]
- Campo magnético creado por una espira cuadrada de lado L por la que circula una intensidad I en el centro de la misma B = 2 mo I Ö2 / [ p L]
- Campo magnético creado por un conductor rectilíneo finito a una distancia y (ángulos medidos desde el punto a los extremos del conductor) B = mo I (sen q1 + sen q2) /  [4 p y]
- Campo magnético creado por un solenoide indefinido en su interior B = mo N I / L
N: número de espiras
L: longitud del solenoide
- Campo magnético creado por un solenoide en su interior B = mo N I (cos q1 + cos q2) / (2  L)
donde los ángulos son los que forma desde el punto, el eje del solenoide con los extremos del mismo
- Campo magnético de un toroide formado por N espiras cada una transportando una corriente I, siendo a y b los radios interior y exterior del toroide B = mo N I / [ 2 p r]  si a < r < b
B = 0  si r > b  ó  r < a
Fuerza
Fuerza sobre un elemento de corriente d F = I d L x B
Fuerza sobre un conductor rectilíneo 
 F = I L x B
Fuerza de Lorentz F = q (E + v x B)
Fuerza por unidad de longitud entre corrientes paralelas F / L = mo I2 I2 / 2 p d
mismo sentido 
   se atraen
sentidos opuestos 
   se repelen
Definición de amperio Si por dos conductores paralelos muy largos situados a una distancia de 1 m entre sí circulan corrientes iguales, se define la corriente en cada uno de ellos como igual a un amperio si la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor es 2 10-7 N / m
Campo magnético creado por un conductor de radio a que transporta una corriente uniformemente distribuida en su área transversal mo I / [ 2 p r]  si r > a
mo I / [ 2 p a]  si r = a
mo I r / [ 2 p a2]  si r < a
 
Una partícula eléctrica que penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme toma un movimiento circular uniforme de radio R R = m v / (q B)
T = 2 p m / (q B)
w = q B / m
Ley de Ampére ò B dl = mo I en
Densidad de corriente J I = ò J d s
Momento magnético
- Momento magnético de un cuadro rectangular N S I
donde N es el número de espiras, S la superficie de las mismas e I la intensidad
- Momento del par que produce la rotación de un cuadro rectangular o una espira circular  recorrido por una corriente I y puesto en un campo magnético M = B S I sen j
Momento dipolar magnético m = m = N I S (es perpendicular al plano de la bobina)
Par en una bobina de corriente 
(momento de torsión sobre una espira) 
 M = N I S B sen j
M = N I S x B = m x B
Energía potencial asociada al momento de la fuerza
 U = - m B
Inducción electromagnética
Flujo del campo magnético fB = ò B ds
Ley de Faraday - Lenz (fuerza electromotriz inducida) e = - d fB / d t
para N espiras: 
 e = - N [d fB / d t]
Ley de Lenz 
 El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variación del flujo inductor
Fuerza electromotriz inducida en un conductor en movimiento e = - B L v
Generación de corriente alterna fB = B S cos q = B S cos (w t)
e = B S w sen (w t) = eo sen (w t)
Autoinducción (L, no confundirla con la L de longitud empleada anteriormente)
Coeficiente de autoinducción L ii = f ii / I i
Autoinducción de una bobina L = mo N2 S / l
Energía almacenada en una autoinducción E = L I2 / 2
Inducción mutua
Coeficiente de inducción mutua M ji = f ji / I i = M ij = f ij / I j
Medios magnéticos
H: intensidad magnética / excitación magnética B = m H
M: imantación M = c H
c: susceptibilidad magnética
M = B / mo - H
B = mo H + moM = mo (H + M)
Ley de Ampére para medio magnéticos ò H dl = I en
Ecuación constitutiva m = mo (1 + km)
Vector densidad de corriente superficial de imantación Js = M x n
Vector densidad de corriente volúmica de imantación Jv = rot M
D = e E
J = s E
Ecuación de continuidad ò J ds = - d q(t) / dt
Teorema de Gauss ò D ds = Q (t)
Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos
Diamagnéticos cm < 0
Los valores absolutos de cm son pequeños.
Paramagnéticos cm > 0
En muchos casos la susceptibilidad paramagnética depende fuertemente de la temperatura:
Ley de P. Curie (1859 - 1906)
 cm = m -1 = constante / T
Ferromagneticos Posee una temperatura característica denominada temperatura de Curie.
Energía magnética
densidad de energía magnética: u = B2 / (2 mo) U = (1 / 2 mo) ò¥B2 dV = L I2 / 2
donde el ¥ significa que la integral se extiende a todo el espacio (donde exista campo magnético)
densidad de energía magnética: u = B H / 2 U = (1 / 2) ò¥ B H dV
Ecuaciones de Maxwell
Ñ x H = Jc + D / t Ñ D = r
Ñ x E = -  B / t Ñ B = 0
Ley de Gauss para el campo magnético ò B ds = 0, pues hasta el momento no se han encontrado monopolos magnéticos, "el equivalente magnético de simples cargas eléctricas"
Forma general de la ley de Faraday Un campo magnético variable produce un campo eléctrico:
ò E d l = - d fB / d t
donde fB = ò B ds
forma integral forma diferencial
1ª: ley de Gauss de la electricidad ò E d s = qn /eo div E = Ñ E = r / eo
2ª: ley de Gauss del magnetismo ò B ds = 0 div B = Ñ B = 0
3ª: ley de la inducción de Faraday-Henry ò E d l = - d fB / d t
donde fB = ò B ds		 rot E = Ñ x E = -  B / t
4ª: ley de Ampere ò B dl = mo I + mo eo d fE / d t
donde eo d fE / d t = id (corriente de desplazamiento)		 rot B = Ñ x B = mo J + moeoE / t
Ecuaciones de Maxwell (Sistema CGS)
Ñ x H = (4p/c) Jc + (1/c) E / t Ñ D = 4 p r
Ñ x E = - (1/c) H / t Ñ H = 0
Ondas electromagnéticas
2 E (x, t) / x2 = mo eo2 E (x, t) / t2 E (x, t) = Eo sen (k x - w t)
2 B (x, t) / x2 = mo eo2 B (x, t) / t2 B (x, t) = Bo sen (k x - w t)
donde 
 Eo = c Bo
k c = w
1 / c2 = mo eo
Campo magnético a partir del campo eléctrico B = (uk x E) / c
Campo eléctrico a partir del campo magnético E = c B x uk
Vector de Poynting S = E x H = (E x B) / mo
lleva la dirección de propagación de la onda
Intensidad de una onda electromagnética I = eo c Eo2 / 2
Densidad de energía rE (E) = eo E2 / 2
rE (B) = B2 / (2 mo)
rE (E y B) = eo E2 / 2 + B2 / (2 mo) = eo E2
Momento lineal y presión Las ondas electromagnéticas transportan un momento lineal por lo que pueden ejercer presión sobre las superficies. La presión de radiación de una onda electromagnética que incide perpendicularmente sobre una superficie que la absorbe totalmente es: p = S / c
Transformadores
Vs / Vp = Ns / Np
Is / Ip = Np / Ns
Vs / Vp = Ip / Is		 Vs : Tensión en bornes del secundario; Ns : número de espiras en el secundario
Vp : Tensión en bornes del primario; Np : número de espiras en el primario
Si Ns > Np Transformador elevador
Si Ns < Np Transformador reductor
Efecto Hall
Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor.
e EH = e vd B  ==> EH = vd B  donde EH es el campo Hall, vd la velocidad de deriva de los electrones.
fem del efecto Hall eH = EH L = vd B L
donde L es el ancho del conductor
Unidades
I: Intensidad A = amperios
J: Densidad de corriente A / m2
B: Campo magnético  tesla
1 Tesla = 104 gauss = miriagauss
f: Flujo del campo magnético weber = tesla . m2
1 maxwell = 1 gauss . cm2
1 weber = 108 maxwell
L H = henrio, en honor a Joseph Henry (1797 - 1878)
mo: permeabilidad magnética wb / (A m)
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© Los autores: Mari Paz Hortelano Gómez e Iñaki Carrascal Mozo ©
Castrillo de Don Juan. Palencia. (España)
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