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| Ecuación de ondas | V2 ¶2 y (x, t) / ¶ x2 = ¶2 y (x, t) / ¶ t2 |
| Solución | y (x, t) = A sen (k x - w t + jo) |
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si el desplazamiento es nulo en t = 0 y x = 0:
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y (x, t) = A sen (k x - w t) |
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También puede escribirse:
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y (x, t) = A sen (w t - k x) |
| Ambas representan una onda que se propaga hacia la derecha (en el sentido
de las x crecientes)
Si la onda se propaga hacia la izquierda: y (x, t) = A sen (k x + w t) ó y (x, t) = A sen (w t + k x) |
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| V = l / T = w
/ k (velocidad de propagación)
k = 2p / l (número de ondas); w = 2p / T = 2 p f (pulsación) T = 1 / f (T es el periodo y f la frecuencia) |
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Velocidad transversal de vibración:
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v = ¶ y / ¶ t |
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Aceleración transversal de vibración:
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a = ¶ v / ¶ t = ¶2 y / ¶ t2 |
| Ondas longitudinales | Las partículas vibran en la dirección de propagación
de las ondas
(ej. ondas que se propagan en un muelle, el sonido...) |
| Ondas transversales | Las partículas vibran en dirección perpendicular a la
propagación de las ondas
(ej. ondas en una cuerda, ondas electromagnéticas...) |
| Velocidad de propagación | V = l / T = w / k |
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- onda transversal (en una cuerda):
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V = [T / m]1/2
T = tensión, m = densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud) |
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- onda longitudinal (sonido) en un sólido:
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V = [Y / r]1/2
Y = módulo de Young, r = densidad volúmica de masa |
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- onda longitudinal (sonido) en un líquido:
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V = [B / r]1/2
B = módulo de compresibilidad, r = densidad volúmica de masa |
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Velocidad del sonido en un gas:
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V = [ g R T / M ]1/2 = [g
P / r]1/2
g: coeficiente adiabático del gas (para el aire g = 1.4) M: peso molecular del gas (para el aire: 28.88 gr / mol) R = 8.31 J / (mol K) = 0.082 atm l / (mol K) = 2 cal / (mol K) |
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Velocidad de una onda electromagnética en el vacio:
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c = 1 / [eo mo]1/2
mo= 4 p10-7: permeabilidad magnética del vacio eo = 8.85 10-12 : permitividad dieléctrica del vacio o constante dieléctrica |
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| Energía del movimiento ondulatorio | E = m w2 A2 / 2 = 2 m p2 f2 A2 |
| Potencia transmitida por una onda armónica sobre una cuerda tensa | P = m V w2 A2 / 2 |
| Intensidad del movimiento ondulatorio | I = E / (t S) |
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para ondas esféricas
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I1 / I2 = A12 /A22
= r22 / r12
A1 /A2 = r2 / r1 |
| Intensidad de una onda sonora armónica | I = r V w2
A2 / 2
donde A es la amplitud del desplazamiento |
| Nivel de intensidad | b = 10 log (I / Io)
donde Io = 10-12 w / m2 El nivel de intensidad se mide en decibelios |
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| Intensidad acústica | I = Po2 / [2 ro
v]
donde Po es la amplitud de la presión acústica |
| Presión acústica eficaz | Pe = Po / Ö2 |
| Po = k B xo = w ro v xo , donde xo es el valor máximo del desplazamiento de las partículas | |
| Densidad promedio de energía | < rw > = ro w2 xo2 / 2 |
| Onda de desplazamiento | x = xo cos (w t - k x + jo) |
| Onda de presión | P = - B ¶ x / ¶ x = ro v2 xo K cos (w t - k x + p/2 + jo) |
| Onda de densidad | r = - ro ¶ x / ¶ x = ro K cos (w t - k x + p/2 + jo) |
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Nivel de intensidad
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LI = 10 log (I / Io) donde Io= 10-12
w/m2
Se mide en decibelios |
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Nivel de sonoridad
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Ls. Se obtiene a partir de una gráfica teniendo en
cuenta la frecuencia y el nivel.
Se mide en fonios. |
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Sonoridad
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S = 0,046 10Ls/30
Se mide en sonios |
| Impedancia acústica | z = ro v ==> I = Po2
/ (2z)
Se mide en RAYLS |
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Nivel de presión acústiva
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Lp = 20 log (Pef / Pref) donde Pref = 2,04 10-5 Pa » 2 10-5 Pa |
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| Absorción de ondas planas | |
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Ley de Lambert
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I = Io e-b x
donde Io es la intensidad incidente; I es la intensidad emergente; x es el espesor del medio y b el coeficiente de absorción I2 = I1 e-b (x2 - x1) A2 = A1 e-b (x2 - x1) / 2 |
| Absorción de ondas esféricas | P2 = P1 e-b (r2
- r1)
I2 = I1 (r1 / r2)2 e-b (r2 - r1) |
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| - De la misma amplitud y frecuencia (desfase distinto) | y1 = A sen (w t - k x1)
y2 = A sen (w t - k x2) |
| y = y1 + y2 = A' sen [w t - k (x1 + x2) ] | |
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donde
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A' = 2 A cos [ k (x1 - x2) / 2] |
| Máximos de interferencia: cuando la diferencia de caminos es un número par de semilongitudes de onda | x1 - x2 = 2 n (l / 2) |
| Mínimos (nulos) de interferencia: cuando la diferencia de caminos es un número impar de semilongitudes de onda | x1 - x2 = (2 n + 1) (l / 2) |
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Doble rendija de Young:
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d es la separación entre las rendijas y D la posición de la pantalla donde se observan las franjas de interferencia |
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Posición de los máximos:
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yM = 2 n (l / 2) (D / d) |
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Posición de los mínimos:
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ym = (2 n + 1) (l / 2) (D / d) |
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Separación entre dos máximos o mínimos
consecutivos:
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l D / (2 d) |
| - De la misma amplitud, frecuencia y desfase (pero que se propagan en direcciones opuestas). Ondas estacionarias | y1 = A sen (w t - k x)
y2 = A sen (w t + k x) |
| y = y1 + y2 = A' sen (w t) | |
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donde
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A' = 2 A cos (k x) |
| Máximos (un número par de cuartas longitudes de onda) - vientres | xM = 2 n (l / 4) |
| Mínimos (un número impar de cuartas longitudes de onda) - nodos | ym = (2 n + 1) (l / 4) |
| Separación entre dos máximos o mínimos consecutivos: | l / 2 |
| - De diferente amplitud y desfase, pero de la misma frecuencia | x1 = A1 sen (w t +
j1)
x2 = A2 sen (w t + j2) |
| x = A sen (w t + j) donde | |
| A2 = A12 + A12 +
2 A1 A1 cos (j1 -
j2)
tg j = [A1 sen j1 + A2 sen j2] / [A1 cos j1 + A2 sen j2] |
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| - Composición de M.A.S. de direcciones perpendiculares | x = A cos (w t)
y = B cos (w t + j) |
| x2 / A2 + y2 / B2 - [2 x y cos j] / (AB) = sen2j | |
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| Cuerda con extremos fijos | L = n (l / 2)
fn = [ n / (2 L) ] v donde n = 1, 2, 3... y v = [T / m]1/2 (velocidad de propagación) frecuencia fundamental o primer armónico (n = 1); f1 = v / (2 L) ==> fn = n f1 primer sobretono o segundo armónico (n = 2), etc. |
| Tubo con ambos extremos abiertos | fn = n v / (2 L) donde n = 1, 2, 3... |
| Tubo con un extremo cerrado | fn = n v / (4 L) donde n = 1, 3, 5... (sólo se producen los armónicos impares de la fundamental) |
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| Es el cambio de frecuencia observado por un observador siempre que existe movimiento relativo entre la fuente de frecuencia y el observador. | |
| Cuando el observador y la fuente se mueven el uno hacia el otro | f ' = f (v + vo) / (v - vf) |
| Cuando el observador y la fuente se alejan el uno hacia el otro | f ' = f (v - vo) / (v + vf) |
| siendo vo la velocidad del observador, vf la
velocidad de la fuente y v la velocidad del sonido.
Sólo interesa la componente de la velocidad en la dirección de la recta que une el foco con el observador. |
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| Se producen cuando la velocidad de la fuente vf
excede a la velocidad de la onda v.
El frente de ondas cónico que se produce cuendo vf > v (velocidades supersónicas) se conoce como onda de choque. |
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| Número de Mach | = vf / v |
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| Potencia | w | |
| Intensidad | w / m2 | |
| b: coeficiente de absorción | m-1 | |
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