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| Ecuación general | f (x, y, z) = a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + a44 + 2 a12 x y + 2 a13 x z + 2 a23 y z + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z = 0 |
| Expresión matricial |  |
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| Ecuación general | f (x, y, z) = a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + a44 + 2 a12 x y + 2 a13 x z + 2 a23 y z + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z = 0 |
| Expresión matricial | |
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| Elipsoide o hiperboloide (A44 ¹ 0) | l1 x'' 2 + l2
y'' 2 + l3 z'' 2
+ ïAï/
A44 = 0
donde l1, l2 y l3 son los valores propios de A44 |
| Paraboloide (A44 = 0) | a x2 + b y2 + 2 c z = 0
podemos calcular a, b y c a partir de los invariantes de la cuádrica |
| Invariantes en una cuádrica | Traza de A44
ïAï (a11 a22 - a122) + (a22 a33 - a232) + (a11 a33 - a132) = a b |
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(Denotamos por * cuando se cumplen simultáneamente a > 0, a11 A44 > 0) donde a =  |
|||
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(ïAï¹ 0) |
A44 ¹ 0 | Elipsoide si se cumple * | real si ïAï< 0 |
| imaginario si ïAï> 0 | |||
| Hiperboloide si no se cumple * | de una hoja si ïAï> 0 | ||
| de dos hojas si ïAï< 0 | |||
| A44 = 0 | Parabolide | elíptico si ïAï< 0 | |
| hiperbólico si ïAï> 0 | |||
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(ïAï = 0) |
rango de A = 3 | Cono si A44 ¹ 0 | real si no se cumple * |
| imaginario si se cumple * | |||
| Cilindro si A44 = 0 | |||
| rango de A = 2 | Dos planos reales y diferentes si a < 0 | ||
| Dos planos imaginarios conjugados si a > 0 | |||
| rango de A = 1 | Un plano doble | ||
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| Esfera. Cartesianas | (x - xo)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2 = R2 |
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Centrada en el origen:
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x2 + y2 + z2 = R2 |
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Paramétricas:
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x = R sen j cos q
y = R sen j sen q z = R cos j |
| Elipsoide. Cartesianas | (x - xo)2 / a2 + (y - yo)2 / b2 + (z - zo)2 / c2 = 1 |
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Centrado en el origen:
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x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 = 1 |
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Paramétricas:
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x = a sen j cos q
y = b sen j sen q z = c cos j |
| Cono | x2 / a2 + y2 / b2 = z2 / c2 |
| Hiperboloide de una hoja | x2 / a2 + y2 / b2 - z2 / c2 = 1 |
| Hiperboloide de dos hojas | x2 / a2 + y2 / b2 - z2 / c2 = -1 |
| Paraboloide elíptico | x2 / a2 + y2 / b2 = z |
| Paraboloide hiperbólico | x2 / a2 - y2 / b2 = z |
| Cilindro elíptico | x2 / a2 + y2 / b2 = 1 |
| Cilindro hiperbólico | x2 / a2 - y2 / b2 = 1 |
| Cilindro parabólico | x2 = 2 p y |
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