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Raíces
de ecuaciones
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| Regla de Horner o de división sintética |
Evaluar un polinomio en un punto xo es equivalente a calcular
el resto de la división por x - xo. (Es decir, hacemos
"Ruffini" y nos quedamos con el resto) |
| Raíces múltiples de ecuaciones algebraicas |
La condición necesaria y suficiente para que un número
xo sea una raíz múltiple de orden k de un polinomio
P (x) es que anule a dicho polinomio y a sus k - 1 primeras derivadas,
pero no a la siguiente. |
| Raíces enteras de ecuaciones |
- Toda raíz entera de una ecuación algebraica con coeficientes
enteros es un divisor del término independiente.
- Toda raíz entera de una ecuación P (x) = 0, donde los
coeficiente de P (x) son enteros, verifica simultáneamente:
P (1) es múltiplo de (xo - 1)
P (-1) es múltiplo de (xo + 1) |
| Raíces fraccionarias de ecuaciones algebraicas |
Para encontras las raíces fraccionarias de la ecuación
P (x) = an xn + an-1 xn-1 +
... + a1 x + ao, se efectúa la transformación
x = y / an, calculándose las raíces enteras de
esta nueva ecuación. Después se deshace el cambio. |
| Cota de Cardano - Vieta de las raíces reales de una ecuación |
Si todas las raíces de la ecuación P (x) = an
xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x
+ ao = 0 son REALES, se verifica que ½
M
½£
[ (an-1 / an)2 - 2 (an-2 /
an) ] 1/2
siendo x Î
[- M , M] para toda raíz xi de la ecuación P (x)
= 0. |
| Teorema de Bolzano |
Sea y = f (x) continua en el intervalo [a, b], teniendo f (a) y f (b)
signos opuestos, entonces existe un punto intermedio c Î
(a, b) que anula la función: f (c) = 0 |
| Método de la bisección o del semi-intervalo |
Básándose en el terorema de Bolzano, partimos de un intervalo
en el que la función cambia de signo y evaluamos el signo de la
función en el punto medio de dicho intervalo.
Reduciremos el nuevo intervalo a aquél en el que se produzca
de nuevo un cambio de signo. Repitiendo el proceso hasta obtener la precisión
requerida. |
| Método de iteración del punto fijo |
Consideremos una ecuación de la forma f (x) = 0, en la cual
podremos despejar x "en función de x" (curioso, ¿no?), es
decir la escribimos de la forma x = g (x).
Partimos de un punto xo, de forma que la primera iteración
será x1 = g (xo); la segunda: x2
= g (x1), etc.
En general: xn = g (xn-1) |
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Convergencia del método:
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- 1 < g' (xo) < 1 |
| Método de Newton - Raphson |
Partimos de un punto xo y calculamos el punto x1
donde corla la recta tangente a la curva y = f (x) desde ese punto con
el eje de abcisas.
x1 = xo - [ f (xo) / f ' (xo)
]
En general: xn+1 = xn - [ f (xn)
/ f ' (xn) ]
Inconveniente: debemos evaluar la función y la derivada en cada
punto. |
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Convergencia del método:
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½g ' (xo)½
< 1 |
| Método de Newton modificado |
xn+1 = xn - [ f (xn) / f ' (xo)
]
Evaluamos la derivada sólo en el primer punto. |