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Integrales
curvilíneas
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| Integral curvilínea en el plano |
ò P (x, y) dx + Q (x, y) dy
(integral a través de la trayectoria C)
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| en cartesianas: |
Pondremos la y (a partir de la ecuación de la trayectoria) en
función de x, con lo que obtendremos una integral simple (en función
de x), con los límites de integración para la x
y = y (x) => dy = y ' (x) dx |
O bien, pondremos la x (a partir de la ecuación de la trayectoria)
en función de y, con lo que obtendremos una integral simple (en
función de y), con los límites de integración para
la y
x = x (y) => dx = x ' (y) dy |
| en paramétricas: |
Pondremos la x y la y en función de un parámetro t
x = x (t) => dx = x' (t) dt
y = y (t) => dy = y' (t) dt |
Si la trayectoria es una circunferencia de radio R centrada en el origen:
x2 + y2 = R2, resolveremos en paramétricas
con el cambio:
x = R cos t => dx = - R sen t dt
y = R sen t => dx = - R sen t dt |
Si la trayectoria es una circunferencia de radio R con centro en el
punto (xo, yo): (x - xo)2 +
(y - yo)2 = R2, resolveremos en
paramétricas con el cambio:
x = xo + R cos t => dx = - R sen t dt
y = yo + R sen t => dx = - R sen t dt |
Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b centrada en el origen:
x2 / a2 + y2 / b2 = 1,
resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = a cos t => dx = - a sen t dt
y = b sen t => dx = - b sen t dt |
Si la trayectoria es una elipse de semiejes a y b con centro en el
punto (xo, yo): (x - xo)2 /
a2 + (y - yo)2
/ b2 =
1, resolveremos en paramétricas con el cambio:
x = a cos t => dx = - a sen t dt
y = b sen t => dx = - b sen t dt |
| Dependencia e independencia del camino |
Si se verifica que ¶ P (x , y) / ¶
y
= ¶ Q (x , y) / ¶
x
- la integral curvilínea es independiente del camino seguido,
depende únicamente de los puntos inicial y final.
- si la trayectoria es cerrada, la integral curvilinea es nula (siempre
y cuando esta trayectoria no englobe ningún punto singular).
- existe asociada a ella una función potencial F (x, y) /
¶ F (x , y) / ¶
x
= P (x, y)
¶ F (x , y) / ¶
y
= Q (x, y) |
| Integral curvilínea en el espacio |
| ò X (x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy
+ Z (x, y, z) dz |
| Dependencia e independencia del camino |
Si el rotacional del campo vectorial V (x, y, z) = X (x, y,
z) i + Y (x, y, z) j + Z (x, y, z) k es nulo,
- la integral curvilínea es independiente del camino.
- existe asociada a ella una función potencial F (x, y, z) /
¶ F (x , y, z) / ¶
x
= X (x, y, z)
¶ F (x , y, z) / ¶
y
= Y (x, y, z)
¶ F (x , y, z) / ¶
z = Z (x, y, z) |
