Números reais

Números reais

O conxunto dos números reais pódese considerar como a unión de dúas grandes familias de números decimais: os racionais e os irracionais.

Os números racionais

Son todos aqueles que se poden representar en forma de fracción ou división indicada:

, sendo n e m dous números enteiros calesqueira (..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...), pero coa condición de que

Como queda dito, a fracción é unha división indicada. Se calculamos o seu cocente, poden acontecer dous casos:

A parte decimal está formada por un bloque de cifras que se repiten infinitas veces, xusto despois da coma decimal: Estes números racionais chámanse periódicos puros, e o bloque que se repite, periodo. Adóitase a compactar a notación escribindo unha soa vez o periodo e marcándoo superiormente. Obsérvese que os números enteiros son tamén periódicos puros, con periodo igual a cero.
A parte decimal está formada por un bloque de cifras que se repite indefinidamente, o periodo, pero non xusto despois da coma decimal: Estes números chámanse periódicos mixtos e as cifras que hai entre a coma decimal e a primeira aparición do periodo é o anteperiodo.

Da mesma maneira que todo número racional se converte nun decimal periódico ó facer a división, tamén é certo que un número decimal periódico calquera se pode transformar a fracción.

Nembargantes, cando os números decimais non son periódicos, entón non se poden transformar en fraccións e xa non son racionais; estamos a falar entón dos números irracionais.

Os números irracionais

Hai infinidade de números decimais non periódicos ou irracionais, velaí algúns deles.

O famoso número , que é o cocente entre a lonxitude dunha circunferencia calquera, L, e o seu diámetro, O seu cálculo ocupou o tempo de moitos matemáticos ó longo da historia. Non é posible o seu coñecemento exacto, xa que ten un número infinito de decimais, sin seguir unha secuencia lóxica. Observa un desenrolo de con 500 decimais. ¿Podes atopar un bloque que se repita exactamente igual indefinidamente? Se cadra pensas que o seu periodo está formado por estas primeiras cifras que logo se volverán a repetir unha e outra vez. Para convencerte que non é así, velaí con 5000 decimais.
O cálculo de moitas raíces ten como resultado un número irracional: Este último, coñecido como número áureo, era considerado polos gregos como especialmente estético.
O número e, xunto con , ocupa un lugar destacado na Matemática. É a base dos logaritmos naturais, utilízase na representación expoñencial dos números complexos e é o límite Aquí tes o número e con 5000 decimais; ¿Podes atopar un periodo? Desde logo que non.

Todos os números irracionais cumplen a propiedade de non poder ser representados en forma de fracción; isto é, se chamamos r a un número irracional calquera, NON PODEMOS ATOPAR dous enteiros n e m de xeito que

Todos os números decimais periódicos (racionais), xunto con todos os decimais non periódicos (irracionais), forman o conxunto dos números reais.