Estudió unos años de ingeniería en la universidad pero lo dejó para estudiar en la Escuela Oficial de Cinematografía, donde se diplomó con el mediometraje La caza de brujas (1968), que fue prohibido y, seguidamente, secuestrado por la censura del Gobierno franquista. Dos años antes había dirigido el cortometraje en blanco y negro La primera comunión (1966).

Formó parte de la Escuela de Argüelles junto al guionista y director Luis Revenga, Ricardo Franco, José María Carreño y Manolo Marinero, entre otros. Drove participó como actor en la película de Marinero, Néstor no corre (1969) y en otras de Iñigo Botas e Iván Zulueta.

En 1969 volvió a dirigir un nuevo corto: Qué se puede hacer con una chica, que fue ganador del Danzante de Oro en el Festival de Cine de Huesca.

Se interesó por el cine documental y en este género rodó en Córdoba el cortometraje Ruta del arte hispano–musulmán (1971). Su siguiente trabajó también fue un documental, pero en este caso para televisión. Titulado Los pintores del Prado (1974), lo correalizó junto a Josefina Molina. Drove se encargó del segmento Velázquez, la nobleza de la pintura (1974). Ese año escribe, junto al productor José Luis Dibildos, la comedia Tocata y fuga de Lolita (1974), en la que dirigió a Arturo Fernández, Manuel Alexandre, María Luisa Merlo y Amparo Muñoz. También rodó el largometraje Mi mujer es muy decente dentro de lo que cabe (1974), con un reparto del que formaban parte Concha Velasco, José Sacristán, Bárbara Rey y Antonio Ferrandis.

Su siguiente trabajo también es una comedia: Nosotros que fuimos tan felices (1976), en la actúa Emma Cohen. Ese año vuelve a televisión, para realizar junto a Mario Camus, Pilar Miró, Rafael Romero Marchent y Francisco Rovira Beleta la serie de TVE Curro Jiménez (1976), ganadora del Premio TP de Oro a la Mejor Serie Nacional.

Sus siguientes trabajos son dos adaptaciones: la coproducción entre España, Francia e Italia La verdad sobre el caso Savolta (1980), basada en la novela homónima de Eduardo Mendoza; y El túnel (1987), inspirada en el libro del mismo nombre del escritor argentino Ernesto Sábato. Su último trabajo fue el telefilme La huella del crimen 2: El crimen de Don Benito (1990).

En 1995 escribió el libro Tiempo de vivir, tiempo de revivir: conversaciones con Douglas Sirk, a partir de una entrevista que realizó al cineasta alemán.