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Iª Prueba presencial
TEMA 11: Teorías y Modelos
Bibliografía:MOSTERÍN, J.: Conceptos y Teorías en la Ciencia, Alianza Univ., Madrid, 1984.,)
1.- La polémica entre Frege y Hilbert acerca del método axiomático.
Esta polémica se dará a principios del siglo XX. El tema que discutían convirtió en estéril todo el intercambio de información. En 1900 Hilbert gozaba del estatuto de mejor matemático frente a Frege, que mantenía el estatus de mejor lógico. La analogía entre ambos acaba aquí (ser los mejores de sus correspondientes disciplinas). Hilbert tiene en 1900, 37 años, y es catedrático de la Universidad de Göttingen. Había publicado "Grundlagen der Geometrie". Durante este año Hilbert propuso a sus colegas, 23 problemas a resolver durante el siglo XX. Frege tenía entonces 51 y no había obtenido (ni obtendría en vida) el reconocimiento público de Hilbert.
El tema de la polémica era "la naturaleza del método axiomático".
Las concepciones sobre lo que era una teoría axiomática presentaron dos perspectivas distintas en esta polémica. Para Mosterín el problema de la esterilidad de la polémica radica en el hecho de que ni Frege ni Hilbert fueron conscientes de esta oposición de concepciones en el mismo uso del término axioma.
Los usos de los términos en los sistemas conceptuales de Frege y Hilbert estaban basados en referencias distintas. Los problemas de los distintos usos del concepto "teoría" siguen vigentes (al menos en parte). Las distintas escuelas filosóficas y científicas aún discuten sobre el concepto de "teoría".
Desarrollo de la polémica
Frege y Hilbert se conocieron en 1895, en el congreso científico de Lübeck, donde iniciaron una relación epistolar. La polémica empezó en las diferencias de criterio con respecto a la geometría axiomática, y estas diferencias se acentuaron cuando Frege leyó la obra de Hilbert.
Frege criticó el libro de Hilbert (27 de diciembre de 1899) pero Hilbert intentó explicarle sus innovaciones metodológicas.
Las diferentes actitudes (Hilbert prefería la actividad congresual y Frege la polémica escrita) impidió que la polémica prosiguiese entre ambos, aunque Korselt sustituyó a Hilbert en la polémica.
El método axiomático concreto o clásico
Mosterín insiste en el núcleo problemático de la esterilidad de la polémica: la incomunicación entre las concepciones. (Si adoptásemos el punto de vista kuhniano diríamos que estamos ante un enfrentamiento de paradigmas) Mosterín califica la postura de Frege de "antigua" o "tradicional" mientras que Hilbert encara la nueva concepción del método axiomático.
Para Mosterín la tradición de la concepción antigua se remonta a la expuesta en los Analíticos Posteriores de Aristóteles (Pág. 175) y tiene su expresión paradigmática en los "Elementos" de Euclides.
Según esta tradición una teoría axiomática es un "conjunto de verdades acerca de un ámbito determinado de la realidad", organizado de tal forma que todos los conceptos participantes pueden definirse a partir de unos pocos, (conceptos primitivos) no definidos, pues se conocen por intuición.
"Aplicar el método axiomático a un ámbito de la realidad supone organizar nuestro haber acerca de ese ámbito en forma de teoría axiomática" Most, op cit, 175.
La concepción tradicional del método axiomático permanece inalterada a excepción de ciertas variaciones hasta el siglo XIX.
Los primeros principios indemostrables, Aristóteles los llamó axiomas e hipótesis, Euclides principios comunes y postulados.
La verdad de estos primeros principios era captada (según Aristóteles) a través del nous.
"Kant consideraba que la verdad de los axiomas de la geometría se capta en una especial intuición pura del espacio. Pero en que lo axiomas eran verdades evidentes, captadas por algún tipo de intuición, prácticamente todos estaban de acuerdo. Incluso los empiristas extremos, que pretendían que llegábamos a los axiomas por inducción, aceptaban al menos que los axiomas eran verdades acerca de un ámbito determinado de la realidad"Mosterín op.cit. Pág. 176.
Frege expuso el método axiomático tradicional en su mayor completud. De hecho lo perfección con la introducción de las demostraciones sistemáticas de los principios mediante las reglas de inferencia.
Geometrías no euclídeas
En la segunda mitad del Siglo XIX el interés por el método axiomático se reavivó entrando en crisis en algunos de sus postulados. Esta crisis estuvo acentuada por la aparición de las geometrías no-euclídeas. Gauss había descubierto la posibilidad de desarrollar geometrías distintas de la tradicional, pero no publicó estas investigaciones (carta de Gauss a Taurinus 1824)
Bolyai y Lobatchevski si publicaron los resultados de sus geometrías no euclídeas que tenían como axioma la negación del axioma euclídeo de las paralelas.
Axioma de las paralelas de Euclides
Proposiciones 27 y 28
27.- Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí.
28.- Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado iguales a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Durante la segunda mitad del XIX surgirán varios enunciados sobre las paralelas todos incompatibles entre sí. La aparición de varios axiomas incompatibles en torno a la misma representación ponía en tela de juicio la "verdad evidente" de los axiomas. Al ser incompatible TODOS no podían ser verdaderos, pero ¿que criterio era el adecuado para elegir? Se recupera en cierto modo la teoría de la "convención", (Crátilo, el lenguaje es "convención humana"). Los axiomas comienzan a considerarse esquemas abstractos y carentes de valor de verdad. Los defensores de la teoría axiomática tradicional no aceptaron estas modificaciones.
Este periodo desde el punto de vista kuhniano podría ejemplificar la existencia (en pugna) de dos paradigmas distintos (crisis y revolución científica).
Frege fue uno de los máximos defensores de la necesidad de establecer al menos una verdad (y esta era la teoría euclídea).
"Según el nuevo punto de vista, cada geometría describía una estructura abstracta. Los teoremas de la teoría no expresan de por sí, ideas verdaderas o falsas acerca de ningún ámbito determinado de la realidad, aunque sean susceptibles de interpretación en diversos ámbitos". Mosterín 178 op. cit
La aplicación posterior de geometrías no euclídeas (en concreto la geometría de Riemann a las partículas físicas, punto y rayos de luz, líneas) de Einstein demostró la validez conjunta de los sistemas formales de abstracción a distintos campos de conocimiento.
Para Mosterín Frege es la refutación a Kant (el método axiomático de Aristóteles era mejorable) y Hilbert y los geómetras no euclídeos son refutación a Frege.
Método axiomático abstracto o hilbertiano
También en la segunda mitad del siglo XIX (junto con la aparición de nuevas geometrías) se revisó el texto de Euclides y en 1882 Moritz Pasch publicó la primera axiomatización completa de Euclídea rellenando las "lagunas" originales. Por su parte los italianos Pieri, Verones y Peano reclamaban un método axiomático explícitamente abstracto. En este ambiente vio la luz la obra de Hilbert (1899) Grundlagen da Geometrie.
Para entender la concepción de Hilbert transcribo los apuntes de una cita a Mosterín:
Carta de Hilbert a Frege (29/12-1899)
"Cada teoría no es sino un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias entre ellos, y su elementos básicos pueden ser pensados arbitrariamente. Si entiendo por puntos, etc., cualquier sistema de cosas, por ejemplo, el sistema formado por amor, ley, deshollinador, etc. y considero que todos mis axiomas resultan válidos para esas cosas, entonces también resultan válidos para esas cosas mis teoremas, como por ejemplo, el de Pitágoras. Con otras palabras: cada teoría puede ser aplicada a una infinidad de sistemas de elementos básicos"
En los Grundlagen der Geometrie se desarrolla la geometría plana, la teoría de las proporciones con independencia del axioma de Arquímedes (Hilbert demostró su prescindibilidad) entre otras nuevas vías de desarrollo geométrico.
Frege analista del método hilbertiano
La oposición radical de Frege al método Hilbertiano dio lugar a finos análisis que señalaron los vacíos del método. Frege ve como, en el método de Hilbert los conceptos punto, recta etc., son conceptos vacíos de significado. A modo de letras algebraicas. Frege formaliza el método hilbertiano dando lugar a un sistema de ecuaciones. Cada sistema que satisface la teoría es como una solución de estas ecuaciones.
Este planteamiento será perfeccionado por Tarski en función del concepto de modelo. Pero Frege se preocupa por la verdad del sistema, la "univocidad".
Otra crítica de Frege a Hilbert radica en los usos de las palabras "definir" y "definición".
Carta de Frege a Hilbert del 6-1-1900:
"Me parece que lo que usted en realidad quiere definir son conceptos de segundo orden, pero que usted no los distingue claramente de los de primer orden" "Los axiomas de Hilbert definen algo, (...) pero (...) no son los conceptos de primer orden de punto, recta, etc. sino el concepto de segundo orden de espacio euclídeo (...) estructura abstracta del espacio euclídeo."
Consistencia
En el segundo capítulo de los Grundlagen de Hilbert figura esta prueba de consistencia de sus axiomas mediante un modelo numérico.
Frege insistía en que los primeros principios no debían ser demostrados. (Poco después Russell analizaría los enunciados (axiomas) de Frege hallando que se encontraban en contradicción. Hilbert suponía que la consistencia implicaba la existencia de un modelo, aunque esto sólo se cumple generalizadamente en los sistemas de primer orden.
Independencia
La concepción abstracta del método axiomático le permite a Hilbert demostrar la independencia de los principios respecto del sistema, utilizando para ello modelos que satisfacen todos los axiomas menos aquél del que se pretende mostrar la independencia.
Durante 1900-1903 las críticas de Frege a la prueba de la independencia son ad hoc, y sólo a partir de 1906 realizará un análisis riguroso del concepto de independencia y de cómo funcionan las relaciones de dependencia. Adelantándose a Tarski, constante que las pruebas de independencia inician una nueva investigación matemática a la que llamó metamatemática.
Frege propondrá un método para analizar la independencia de las proposiciones.
Resumen del método fregeano
Probar que una proposición A es independiente de E ideas ([B1...Bn] consiste en sustituir las constantes no lógicas que aparecen en A (B1...Bn) por otras constantes distintas de la misma categoría tales que (B1...Bn) se transforman en ideas verdaderas y A en una idea falsa. Lo cuál como ya señaló Steiner, es equivalente al proceder hilbertiano.
Deducción
En una teoría axiomática abstracta los teoremas se prueban a partir de los axiomas según las reglas establecidas de inferencia y sin tener en cuenta para nada posibles interpretaciones.
Frege no admite este tipo de pruebas abstractas por dos razones:
En primer lugar, porque parte de axiomas abstractos a los cuáles califica de seudo axiomas que no expresan ideas, mientras que la inferencia es la relación de una idea a otra.
En segundo lugar no acepta la inferencia basada en reglas de inferencia solamente, exige que se base en actos psíquicos de juicio.
"Una inferencia no pertenece al campo de los signos sino que es un acto de enjuiciamiento". Esta caída de Frege en el psicologismo (dependencia del valor de las reglas de la aceptación del sujeto) es criticado por Resnik. (Ver la definición de lógica de Deaño sobre el razonamiento psicológico y lógico)
Teorías concretas y abstractas
Mosterín reitera la inutilidad (por infertilidad) del debate entre Frege y Hilbert. Mosterín ha señalado en diversas ocasiones a lo largo del capítulo siete que la "aportación a las deducciones formales abstractas de Hilbert, Frege podía haber aportado el sistema de reglas de inferencia explicitando lo necesario para su perfeccionamiento".
En 1934 Hilbert se da cuenta de esta "incomunicación" y realiza una distinción entre teorías concretas y abstractas (distinción material/formal para facilitar la comprensión).
La respuesta de Mosterín a la pregunta ¿Qué se entiende por teorías abstractas y concretas? Responde en función de los conceptos ontológicos de Frege. Dichas categorías esenciales son objeto y función. Todo lo que hay o es objeto o es función. Un objeto es completo o saturado mientras que una función es incompleta o insaturada y necesita de un objeto (argumento de la función monaria) para ser completa o saturada.
Podríamos decir que una teoría concreta es un objeto (siempre según las categorías de la ontología fregeana) saturado o completo (conjunto de proposiciones sobre un sistema) Una teoría abstracta es una función (incompleta, insaturada) que necesita de un argumento (objeto, teoría concreta) para estar definida.
Uno de los retos actuales es aún la clarificación de las diferencias entre teorías abstractas y concretas.
2. HISTORIA Y TEORÍA ABSTRACTA( Capítulo 8)
Sistema y Estructura
Mosterín parte de la siguiente tesis:
-Toda teoría es matemática. Esta tesis sólo puede mantenerse si entendemos el término teoría como teoría abstracta (tal como fue definida a lo largo del capítulo siete).
Mosterín da cuenta de cómo el concepto que se tenga de teoría apareja detrás una filosofía de la ciencia y una lógica o matemáticas concordantes con las categorías ontológicas propias de los sistemas de referencia. Este fenómeno es totalmente evidente en la polémica Frege-Hilbert, donde se evidenciará además dos usos distintos de los conceptos tradicionales para la ciencia tales como teoría, axioma o método entre otros. De esta polémica surgirá una distinción básica (entre lo concreto y lo abstracto). Para comprender o explicar las diferencias conceptuales es necesario reproducir la polémica someramente.
Por otro lado la explicación de Mosterín podría estar sugiriendo una nueva adjetivación o comprensión de las teorías objetual/funcional.
Mas adelante tomará partido por la teoría abstracta o funcional.
Mosterín apuesta por la distinción entre teorías e hipótesis (generalmente en sentido vulgarizado del término se sustituye "hipótesis" por "teorías"). Añade que en este sentido pueden llamarse "historias" o "hipótesis históricas" (en cuanto toman forma de narración).
Uso de "historia": en sentido restringido sólo se aplica a los asuntos humanos ordenados cronológicamente. Mosterín refiere a su sentido primario.
Historia puede ser entendido como relato, narración, independientemente de que se hable con cronología determinada o no. La historia para Mosterín no ha de estar condicionada a los hombres o a la cronología. Toda ciencia tiene un componente histórico y otro teórico (teoría e historia).
Una historia es la descripción de un sistema. Una teoría, una descripción de una estructura. El uso intercambiable entre sistema y estructura dificulta esta cuestión.
Polisemia de sistema: Conjunto (sistema de ecuaciones), sinónimo de estructura (sistemas cristalinos en cristalografía, monoclínicos, triclínicos,...) El uso que va a usar Mosterín es el último definido.
"Por sistema se entiende un conjunto bien delimitado de objetos, junto con ciertas propiedades, posiciones e interrelaciones bien definidas entre los mismos."
Ejemplo de sistemas que se ajustan a esta definición serían el sistema bancario español, el sistema monetario internacional, el sistema solar, sistema relacional entre números enteros y la relación menor que entre ellos.
El siguiente término que analiza Mosterín es el de estructura. Estructura es un término que se usa tanto para designar aquellos conjuntos materiales de función esquelética (vigas y columnas de un edificio son la estructura del edificio).
En lógica matemática el término se usa como sinónimo de sistema. El sentido que utiliza Mosterín para estructura es el siguiente:
"Se emplea estructura, para referirse a ciertos rasgos más o menos formales comunes a varios sistemas."
Por estructura ejemplifica Mosterín: estructura del átomo de helio, estructura hexagonal de los paneles de miel, estructura de un compuesto atómico, estructura alfabética de enciclopedias.
Historia y Teoría
La noción clásica que se tiene de historia es la aportada por Aristóteles: la historia es lo que se ocupa de lo particular.
La concepción grecorromana de historia no es temporal ni se ocupa de asuntos humanos necesariamente. La crónica es la historia específica de los acontecimientos humanos, un tipo de historia entre otras. Toda historia, no es crónica. Geografía y etnografía en la concepción grecorromana es historia (Hasta no hace mucho la historia y la Geografía están vinculadas en los planes de estudio).
Del mismo modo que no toda la historia es sólo crónica, no toda la historia es humana. (Historia de los animales de Aristóteles o Historia Naturalis de Plinio). Museos de Historia Natural. "El objeto fundamental de la geología es la historia de la Tierra".
Mosterín se acoge a la noción extensa y no restringida del término historia.
"Cualquier dato o información acerca de un sistema contribuye a la historia del sistema y forma parte de ella. La historia total del sistema sería la descripción total del sistema. Cualquier descripción del mismo constituye una historia parcial suya"
Esta concepción tan amplia de la historia lleva a Mosterín a afirmar que en toda ciencia se hace historia. Tycho Brahe es descrito como el más grande historiador de la ciencia en su tiempo. A la condición de historiador le suma la de teórico en el caso de Kepler. Los datos son desde la perspectiva de Mosterín propios de la construcción de la historia y no de la teoría.
Concepto de teoría. "La palabra teoría ha subrayado la generalidad de lo tratado"
El sentido en el que usa Mosterín teoría es en el sentido de Hilbert. Concepción de la teoría geométrica, matemática o física. Teoría de estructura abstracta, que puede o no realizarse con independencia de la realidad. La diferencia final es que los teoremas de la teoría no tienen valor de verdad, mientras que los juicios de la historia si.
Sistemas homogéneos y heterogéneos
El estudio de la realidad compleja y amplia ha de ser a través de una delimitación de la parcela o campo sobre el que se va a trabajar.
A las diferentes formas de delimitar le corresponden sistemas distintos. Para definir un sistema hay que indicar el conjunto de cosas de las que vamos a hablar. Dependiendo del aspecto de la realidad que vayamos a tratar, nos interesa definir el sistema en función de este aspecto. Para ello es necesario decidir que criterios son adecuados para enfocar la definición. En general los sistemas podrán definirse por una relación determinada. (Ejemplo de la máquina de tabaco o de la población de una isla).
Lo importante para Mosterín:
"es que especifiquemos en cada caso que conjunto (o conjuntos) de cosas vamos a considerar como universo (o universos) del sistema y en qué relaciones (y funciones, propiedades y posiciones) vamos a fijarnos explícitamente. Con ello quedará definido el sistema."
Un sistema con un solo universo es un sistema homogéneo. Un sistema con varios universos es un sistema heterogéneo.
En cada caso definiremos el sistema por el universo (conjunto de cosas consideradas como tal) y por las relaciones que se establecen en dicho universo (funciones, propiedades y proposiciones).
Sistema homogéneo: con un solo universo , conjunto ordenado formado por una clase (A) no vacía y una secuencia de unidades-individuos- que forman A, así como las propiedades de los individuos de A, las relaciones y las funciones de estos individuos.
Los sistemas no han de tener todas entidades sino que pueden centrarse en un tipo específico (relaciones de progenitura, grupos sanguíneos etc.)
Sistema heterogéneo: conjunto ordenado formado por varias clases no vacías (universos del sistema) y una secuencia de entidades distinguidas (individuos de alguno de los universos) y de las relaciones etc. de estos individuos. Como en los homogéneos no es necesario que existan todas las entidades.
Desde un punto de vida formal todo lo que aparece en un sistema heterogéneo puede ser descrito como homogéneo. El hecho de que una parcela de la realidad se explique como un sistema heterogéneo u homogéneo es una decisión del observador convencional.
Para usar, entender o aplicar un sistema necesitamos los conceptos que aclaren la situación del mismo. Los conceptos han de ser traducidos en palabras y si el lenguaje ordinario no tiene una palabra para el concepto se inventa un término técnico. Todas las ideas que se pueden formar con los conceptos son para Mosterín históricas. La totalidad de las ideas sobre A que son verdaderas(A es el universo de nuestro sistema) constituyen la historia del sistema, que no suele ser completa sino parcial y con frecuencia dudosas pero las aceptamos como lo más plausible.
Los sistemas son extralingüísticos pero delimitados por los usos lingüísticos. La historia de un sistema es sin embargo lingüística en un sentido amplio del término. El sistema que consideremos estará en relación de dependencia con los conceptos de la historia que estemos usando. Cuando añadimos conceptos estamos realizando una expansión del sistema. De que nuestras ideas históricas sean verdaderas o falsas depende la validez del sistema.
"El rasgo del sistema que determina la verdad de una cierta idea de su historia lo llamamos un hecho, el hecho correspondiente a esa idea el "pendant" objetivo de la idea verdadera, el correlato ontológico de la relación semántica de verdad" Mosterín Pág. 202
Conceptos y Teoremas
En la caracterización de las nociones estructura y teoría existe un salto cualitativo desde la caracterización de sistema e historia.
La capacidad humana de percepción, el sistema neurosensorial de animales superiores, los "cálculos" cromáticos esterométicos y paralácticos, no son imitables hasta ahora por las máquinas. Captar e identificar formas preceptúales facilita y posibilita el aprendizaje de conceptos lingüísticos. Todos los conceptos lingüísticos del adulto forman una red en cuyos mundos se encuentran estas once formas preceptúales.
"este es el nivel del lenguaje, de la historia, de la verdad y de la falsedad, el nivel de nuestra representación simbólica (pero directa) de la realidad y de los múltiples sistemas que en ella distinguimos."
El salto entre teoría e historia se realiza a través de los conceptotes. Mosterín utiliza este término para referirse no a las ideas sino a los teoremas.
Definiciones de conceptor y teorema
Un conceptor es un testaferro que permite pensar en innumerables conceptos distintos correspondientes a la historia de sistemas distintos pero que tienen en común una estructura.
Este concepto es una extensión de nuestro propio lenguaje en el intento de caracterización de una estructura. La combinación de distintos conceptotes es lo que se entiende por teoremas.
Ante la confusión del planteamiento Mosterín presenta un ejemplo:
"La geometría euclídea es una teoría (teoría de la estructura del espacio euclídeo) en la formulación de cuyos teoremas aparecen las palabras punto, recta, ángulo, etc. Según Hilbert estas palabras no son conceptos normales, no se refieren a nada en concreto [son abstractos] son meros testaferros que permiten definir la estructura del espacio euclídeo. Lo único importantes es que si, en los teoremas sustituimos esos testaferros o conceptotes por conceptos sobre un sistema entonces los teoremas se transforman en ideas y la teoría se transforma en historia de este sistema. Si la historia es verdadera, entonces ese sistema tiene estructura de espacio euclídeo o equivalentemente es un modelo o realización de la geometría euclídea."
Teoría de una estructura
La mecánica clásica de partículas es una teoría (teoría de la estructura mecánica clásica de partículas) en cuya formulación aparecen palabras-testaferro tales como partícula, masa, fuerza, etc., es decir conceptotes. Y estos conceptotes definen la estructura de mecánica clásica de partículas. Si un sistema es modelo de la teoría mecánica clásica de partículas, realiza la correspondiente estructura, entonces podrán sustituirse los conceptotes por conceptos en los teoremas obteniendo ideas verdaderas sobre el sistema. Será posible definir una estructura en abstracto, sin pasar por los innumerables sistemas que la realizan.
Toda teoría es un conjunto de teoremas, (conjunto de combinaciones bien formadas de conceptotes. Cada sistema ampliará la estructura original con otras estructuras por esto le serán aplicables varias teorías.
Para Mosterín (ejemplo de máquina auto expendedora de cigarrillos) la afirmación de que un cierto sistema empírico posee una estructura es una hipótesis histórica susceptible de refutación. Por el contrario, un teorema no es susceptible de refutación ya que es una mera descripción de la estructura.
Su validez le viene únicamente de su relación lógica con los axiomas de la teoría que construyen la definición de la teoría.
Toda teoría es matemática
"Definir una estructura es lo mismo que formular su teoría" Most. 207
Es necesario especificar el conjunto de conceptotes, las combinaciones de conceptotes que constituyen los axiomas y que lógica determina la relación de consecuencia entre axiomas y teoremas (conjunto de símbolos, reglas de definición y reglas de transformación) esto es matemáticas (o lógica según se mire) aunque se aplique al mundo empírico.
Mosterín reflexiona sobre el comportamiento del científico ante teorías y sistemas que ejercen de modelos de las teorías.
Para Mosterín las estructuras matemáticas no son reales como para Platón, sino esquemas conceptuales (proyectivos) de comprensión de la verdadera realidad:
"poseemos un saber perfecto y seguro sobre lo irreal, vacío y formal (las estructuras, objeto de las teorías) pero sólo un saber imperfecto e inseguro sobre lo real, lo vivo y lo material (sistemas objeto de la historia)".
Las teorías garantizan para J. Mosterín el orden conceptual en un mundo confuso e informe.
"Somos como las arañas, y las teorías son como las redes o telas de araña con que tratamos de captar y capturar el mundo. No hay que confundir estas redes o telas de araña con el mundo real, pero sin ellas ¡Cuánto más alejados estaríamos de poder captarlo y, en último término gozarlo!"
3.- Teorías y Modelos(Cáp. 9)
Para Mosterín la actividad científica culmina en la construcción y contrastación de las teorías de gran poder explicativo y predictivo.
Definición de teoría: Para caracterizarlas (dad su complejidad y su dimensión psicológica) hay que fijarse en los rasgos formales. Una caracterización tradicional de las teorías son los enfoques sintáctico, pragmático y semántico (categorías lingüísticas).
Enfoque sintáctico: Permite la definición más escueta de sus propiedades. Es el más clásico y extendido en la filosofía de la ciencia. Encaja en la tradición metamatemática. Utilizado por Hilbert, Tarski, Carnap o Popper. Concibe la teoría como un conjunto de teoremas clausurado respecto a la relación de consecuencia.
Enfoque semántico: Iniciado por Beth y Suples. Se centra en las aplicaciones de la teoría y permite definirlas de modo compacto e interrelacionado usando el lenguaje de teoría informal de conjuntos (más intuitivo que la lógica formal de primer orden. Concibe una teoría como un conjunto de realizaciones o modelos (sistemas que cumplen la teoría).
Enfoque pragmático: Iniciado por Kolmogonov y Solomonov; se centra en la función de las teorías como compresores de información. Concibe la teoría como un programa computacional.
Estos enfoques son compatibles y complementarios. La misma teoría puede verse desde los enfoques distintos alternativamente. Se trata de aspectos distintos sobre una misma cuestión (teorías científicas)
"las teorías mejor definidas son las teorías matemáticas y el enfoque más desarrollado (...) el metamatemático que combina su consideración como teorías en sentido sintáctico con el estudio preciso de las relaciones semánticas con sus modelos (teoría de modelos). Es el enfoque que adoptamos en este capítulo"J. Mosterín 212.
SISTEMAS
Noción vaga de realidad: El mundo no está estructurado de modo unívoco sino que es el hombre, con sus esquemas conceptuales y teóricos el que trata de ordenar sus percepciones. Estas ordenaciones no son totalitarias (universales) [todos los puntos de vista sobre la totalidad del universo] sino parciales (una zona de la realidad determinada desde algunos puntos de vista. Esta noción vaga de realidad se precisa mediante la noción de sistema.
Noción de sistema: Un sistema es una parcela de la realidad (sentido amplio de realidad que incluye los objetos del pensamiento) explícitamente delimitada y enfocada. Los cambios de sistema vendrán dados por las definiciones del universo y las relaciones de sus objetos. Podemos cambiar de sistema también si alteramos la perspectiva. Los sistemas pueden ser homogéneos o heterogéneos.
Como todo sistema heterogéneo puede traducirse en un sistema homogéneo sólo se consideraran estos y en concretos sistemas matemáticos que son los menos problemáticos.
Nueva definición de sistema: entidad compleja compuesta por un conjunto no vacío (universo del sistema) y la serie de individuos, relaciones y funciones distinguidos o considerados.
A es el universo del sistema (a1...an) son los individuos distinguidos del sistema. Todos los subconjuntos de A son propiedades o relaciones monarias en A. Cualquier subconjunto AxA (A2) es una relación binaria en A. En general cualquier subconjunto de A "es una relación n-aria de A". Solo nos interesa un número finito de relaciones entre todas estas (R1...RN).
"El sistema es la secuencia formada por el universo de las relaciones distinguidas (R1...RN) las funciones distinguidas (f1...fm) y los individuos distinguidos (a1...an)" En un sistema no puede haber una relación, función o individuo no definido previamente. (No distinguido)
4. Usos de modelo
En el análisis de los conceptos uno de los métodos fundamentales es el examen del término en su uso.
Mosterín realiza en el capítulo 10 (Sobre el concepto de modelo) ciertas críticas al análisis lingüístico de ciertos términos en concreto sobre "pintura" y "modelo".
Ferrater analiza los fenómenos de representación y sus usos lingüísticos correspondientes, estableciendo una relación binaria entre pintura y objeto pintado, cuando debería, por las mismas exigencias semánticas argumentales de la propuesta, tratarse de una construcción ternaria, es decir se plantea una relación binaria si decimos x pinta y, mientras que la naturaleza semántica del término exige esta otra formulación que sería la relación ternaria, el objeto x que representa y es pintado por z, de tal forma que no se segreguen ni las relaciones pragmáticas ni las semánticas.
Ferrater parte de la expresión "x es un modelo de y". La crítica de Mosterín se enfoca por la falta de precisión con la que son formulados los enunciados respecto a su uso real, cotidiano y lingüístico.
La distinción de Ferrater se centra en la similaridad/ asimilaridad pictórica. En la similaridad se situarían las teorías.
Teorías, sistemas, modelos
Mosterín plantea que la curiosidad del científico no surge en torno a individuos sino en torno a sistemas, entidades complejas formadas por diversos individuos y una serie de funciones y relaciones establecidas entre ellos (lo que desde la visión estructuralista se consideraría como estructura).
El estudio de un modelo tiene como objetivo elaborar una teoría (conjunto de enunciados, ecuaciones y fórmulas independientemente de su clasificación) para explicar un sistema determinado, tanto en sus desarrollos internos como proyectivos (predicciones de futuro, recurre a la identificación de explicación y predicción planteada por Hempel).
La correspondencia entre teorías y sistemas sería del siguiente modo: Las variables de la teoría se identifican con los individuos del sistema mientras que los conceptos corresponden a las relaciones y funciones. Si el sistema es explicado por la teoría constituye una realización de la teoría a la que denominamos modelo.
El alcance explicativo de las teorías puede ser de diversos grados. Pueden explicar sólo un sistema o toda una clase de ellos. Lo que se traduce en que una teoría puede tener una sola realización o muchas de ellas o lo que es lo mismo, el número de modelos que puede presentar una teoría es variable (Ejemplos de mecánica de Newton o aritmética de Peano).
Desde una perspectiva kuhniana el periodo en el cuál se buscan todas las posibles realizaciones (modelos, sistemas en los que la teoría es funcional) de una teoría en concreto respondería a lo que puede denominarse "periodos de ciencia normal".
Determinadas teorías no tienen hasta hoy ninguna realización. Es decir, carecen de modelos donde ser aplicadas (es el caso de ciertas teorías económicas).
Lo que tienen en común todos los modelos de una misma teoría es la estructura. La estructura puede ser considerada intencionalmente como estructura de los modelos y extensionalmente como clase de los mismos.
Noticia de la teoría de modelos
Las relaciones entre teorías y modelos también constituyen motivo de estudio que debido a su desarrollo se conoce como teoría de Modelos, iniciada por Tarski. Las consideraciones de la teoría de modelos entre otras se centran en el estudio de las similaridades entre sistemas y las relaciones o características comunes de sus universos, es decir, uno de los conceptos fundamentales es el de isomorfía que descubre entre otras cosas la cardinalidad de un modelo con respecto a distintas teorías, etc. (isomorfía, polimorfia). La interrelación entre teoría, sistema y modelo estudiada por la teoría de modelos, ofrece métodos precisos de los que disponer. Uso de "modelo" en lenguaje ordinario (natural versus artificial).
El lenguaje ordinario usa el concepto de "modelo" en dos sentidos fundamentales y contrapuestos. Unas veces el modelo se centra en el individuo que será representado (siguiendo el ejemplo de pintura/pintado con el que se inició el capítulo) y en otras ocasiones se usa para denominar precisamente el producto nuevo que es representación del original (cuadro). Este uso doble del término se traslada al campo científico donde igualmente se usan las dos acepciones, y en función de la misma concepción de las relaciones entre teorías y modelos cambia de manera radical.
Entiende como "el modelo es lo que se va a representar" la teoría de modelos mientras que en las ciencias empíricas se entienden como modelo justamente la representación. Mosterín cree más conveniente, por su fuerza metodológica la acepción de la teoría de modelos. En el uso vulgar en el que teoría y modelo significan lo mismo sería necesario usarlas correctamente y en las ciencias empíricas sería necesaria una revisión.
Servir de Modelo
Construcción de sistemas semejantes al que se estudia a una escala menor. A esto se le llama modelo en ciencias empíricas. Sobre la observación del modelo se construye una hipótesis teórica que puede aplicarse al sistema original. Se trata de seguir un camino indirecto cuando el camino directo es imposible. Una vez que aplicamos la teoría simple (sobre el sistema) al sistema complejo puede ocurrir que sea válida para explicarlo (en cuyo caso diremos que la teoría simple es modelo del Sistema Complejo) O que no. Y en este último caso es necesario volver a empezar. "Servir de modelo" en ciertos contextos es semejante a "ser modelo".